Der Taschenrechner rechnet nicht wie wir im Dezimalsystem (Zehnersystem), wo es die Ziffern von 0 – 9 gibt,
sondern im Dualsystem (Zweiersystem), in dem es nur die beiden Ziffern 0 + 1 gibt;
Für den Taschenrechner entweder „Strom fließt nicht“ oder „Strom fließt“.
Der Wert der letzten Stelle des Dualsystems beträgt 1. Um den Wert der nächst größeren Stelle zu ermitteln,
muss man den vorherigen immer mit 2 multiplizieren.
| 16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
Wert im Dezimalsystem |
| 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Ziffern im Dualsystem |
| |
| Die Zahl 11010 im Dualsystem hat einen Wert von 16+8+2=26 |
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Ein einfaches Beispiel für eine schriftliche Addition im Dualsystem: |
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|
|
1 |
0 |
1 |
(4+1=5) |
|
+ |
1 |
1 |
0 |
(4+2=6) |
|
------------------------- |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
(8+2+1=11) |
Im Dualsystem gilt:
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (Man schreibt eine Null und nimmt eine Eins als Übertrag)
Die Elektronik ist nun so intelligent geschaltet, dass sie mit den Informationen 0 und 1 rechnen kann
und das Ergebnis ausgibt.
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Der Chip benutzt logische Operatoren um die Addition durchzuführen, die Gatter genannt werden.
Hier ist eine Liste mit Erklärung von den bei unserem Chip verwendeten Gattern:
AND (UND):
Dieses Gatter hat zwei Eingänge. Wenn durch beide Eingänge Strom fließt, ist das Ergebnis 1
(Strom fließt), sonst ist das Ergebnis 0 (Strom fließt nicht).
Diese Tabelle soll das Verhalten des Gatters besser verdeutlichen:
| Eingang 1 |
Eingang 2 |
Ergebnis |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
OR (ODER):
Dieses Gatter hat ebenfalls zwei Eingänge, wobei das Ergebnis hier 1 ist,
wenn durch mindestens einen der beiden Eingänge Strom fließt, sonst ist es 0.
| Eingang 1 |
Eingang 2 |
Ergebnis |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
1 |
XOR (Exklusives Oder):
Ein XOR-Gatter besitzt zwei Eingänge.
Das Ergebnis ist 1, wenn genau durch einen Eingang Strom fließt, sonst ist es 0.
| Eingang 1 |
Eingang 2 |
Ergebnis |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
Halbaddierer:
Zum Addieren benutzt ein Taschenrechner Halbaddierer. Diese sind in der Lage zwei Bits,
die jeweils die Werte 1 oder 0 haben, zusammen zu addieren. Um aber größere Zahlen
miteinander zu addieren benutzt der Taschenrechner eine größere Anzahl von diesen Halbaddierern.
Das Ergebnis von einem Halbaddierer kann höchstens 2 (1+1) und mindestens 0 (0+0) sein.
Daher benötigt man für die Ausgabe des Ergebnises zwei Stellen (Dualsystem).
Die 1er-Stelle ist immer dann 1, wenn nur eine der beiden Zahlen, die miteinander addiert werden sollen,
1 ist, sonst ist sie immer 0.
Wenn man jetzt nochmal einen Blick auf unsere Liste mit den Gattern wirft, sieht man,
dass ein Gatter genau dieses Verhalten aufweist, und zwar der XOR-Gatter.
So sieht dann unsere Schaltung aus, um die 1er-Stelle zu berechnen.
Die 2er-Stelle ist nur dann 1, wenn beide Summanden 1 sind, sonst ist sie 0.
Nach einem Blick auf unsere Tabelle sehen wir, dass bei diesem Fall der AND-Gatter geeignet ist.
Und so sieht dann die Schaltung aus, um die 2er-Stelle zu berechnen:
Und so sieht dann die komplette Schaltung aus:
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Um Binärzahlen mit mehr als einer Stelle zusammenaddieren zu können, wird der Volladdierer benötigt.
Für jede weitere Binärstelle, die berechnet werden soll, muss ein weiterer Volladdierer in der Schaltung vorhanden sein.
Daher berechnet ein Volladdierer genau eine Stelle und den Übertrag für den nächsten Volladdierer in einer Binärzahl.
Wie beim Halbaddierer wird die aktuelle Binärstelle mit Hilfe einer XOR-Operation von den jeweiligen Binärstellen in den Summanden berechnet.
Zusätzlich muss beim Volladdierer noch der Übertrag des vorhergehenden Voll- bzw. Halbaddierers mit berücksichtigt werden.
Daher wird das Ergebnis der ersten XOR-Operation noch einmal mit dem Übertrag des vorhergehenden Addierers XOR-verknüpft.
Das ist dann das Ergebnis der aktuellen Binärstelle.
Nun muss noch der Übertrag zur nächsten Binärstelle berechnet werden.
Dieser ist 1, wenn entweder die nächst kleinere Stelle beider Summanden 1 ist, oder wenn ein Summand 1 ist
und zusätzlich noch ein Übertrag von 1 in der vorhergehenden Binärstelle entstanden ist.
Diese Regel lässt sich elektronisch durch eine AND-Operation zwischen den jeweiligen Binärstellen
der Summanden und durch einer AND-Operation zwischen dem Ergebnis der aktuellen Binärstelle und dem Übertrag
des vorhergehenden Addierers realisieren. Eine OR-Verknüpfung der beiden AND-Ergebnisse liefert dann den gewünschten Wert,
der entweder als letzte Binärzahl ausgegeben oder als Übertrag an den nächsten Volladdierer übergeben werden kann.
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